SOAL RELASI REKURSI DAN JAWABAN

1.    Solusi homogen dari relasi rekurensi b_n + b_n-1 – 2 b_n-2 = 0 dengan kondisi batas b₀ = 0 , b₁ = 1            adalah.....
       
       a.  bn^(h)= A1 (-3)ⁿ+ A2 . 2^{n   
       b.} (a + 3) (a - 2)
              c.   b_n^(h) = 1/5 (-3)ⁿ +1/5 . 2ⁿ     
       d.   b₀^(h) = A₁ (-3)⁰ + A₂ . 2⁰   

         
                        
             

 Jawab:

bn + bn-1 – 2 bn-2 = 0

= a² + a- 2 = 0

= (a+ 2) (a- 1) = 0

a1 = -2     a2 = 1.

solusi homogen = bn^(h)= A1 a₁ⁿ+ A2 a₂ⁿ       =>bn^(h)= A1 (-2)ⁿ+ A2 . 1ⁿ

Batas b₀= 0 dan b₁= 1 , maka:

b₀^(h) = A₁ (-2)⁰ + A₂ . 1⁰    =>  0 = A₁ + A₂ .         

b₁^(h) = A₁ (-2)¹ + A₂ . 1¹    =>  1 = -2 A₁ +  A_{2  -}

                                                                   _{________________________ __}

Eliminasi  =>  1 = 3A₁

                        A_{1 =} 1/3 lalu subtitusi nilai A₁ kedalam persamaan b₀ atau b₁

                        0 = A₁ + A₂

                        0 = 1/3 + A₂

                        A₂ = -1/3

Maka A1 = 1/3 dan A2 =-1/3 

Solusi homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 2bn-2 = 0 adalah

b_n^(h) =  1/3(-2)ⁿ + 1/3. 1ⁿ

2.   Mana diantara berikut yang merupakan solusi dari relasi rekurensi  dari :

 a_n + 4 a_n-1 + 4 a_n-2 = 0 

    a.       a_n^(h)  = (A₁ n^m-1 + A₂ n^m-2) a₁ⁿ  , a_n^(h)  = (A₁ n + A₂ ) (-2)ⁿ .

    b.      a_n^(h)  = (A₁ n + A₂ ) (-2)ⁿ .

    c.       a_n^(h)  = (A₁ n^m-1 + A₂ n^m-2) a₁ⁿ  ,

    d.      a_n^(h)  = (A₁ n^m-1) a_n^(h)  = (A₁ n + A₂ ) (-2)ⁿ .

 Jawab :

Relasi rekurensi homogen :                        a_n + 4 a_n-1 + 4 a_n-2 =0.

Persamaan karakteristiknya adalah             a²  +  4 a  + 4 = 0

                                                                     (a+ 2) (a + 2) = 0

Akar-akar karakteristik   a₁ = a₂ = -2 ,  m = 2,

Oleh karena akar-akar karakteristiknya ganda, maka solusi homogennya berbentuk:       

 a_n^(h)  = (A₁ n^m-1 + A₂ n^m-2) a₁ⁿ  ,a_n^(h)  = (A₁ n + A₂ ) (-2)ⁿ

   

  3.      a - an-1  = 2n2,n 1, dan 0 = 9 ……

     a.  5 +   (n) (n+1)(4n+2)

     b.  9 +  (n) (n+1)(2n+1) 

     c.  2 +   (n+2)(n)(n+2n)

     d.  9 +  (n)(n+1)(2n+1)

Jawab : 

f_n (n) = 2n2, sehingga solusi umumnya :

   

          =        A0+ (n(n+1)(2n+1)/6)    

          =        9 +  (n) (n+1)(2n+1)

4.  Diketahui relasi rekurensi Sn = 2Sn-1 dengan syarat awal S0 = 1. Selesaikan untuk suku ke-n!

    a.    2n

    b.    4n

    c.    n

    d.    2

 Jawab:

Sn = 2Sn-1

= 2 (2Sn-2) = 2² Sn-2                  

= 2³  Sn-3

= ………

= 2nS0

= 2n

5.   Selesaikan relasi rekurensi an = 7an -1 , n > 1, a2= 98

    a.    an= 7n (2) , n > 1

    b.    an= 7n (1) , n > 0

    c.    an= 7n , n > 2

    d.    an = 7n (2) , n > 0

Jawab:

Untuk n = 1 maka a₁ = 7 a₀  a₂ = 7 a₁ = 7  (7 a₀) = 72a₀ dari a₂ = 98 maka 98 = 49 a₀

sehingga diperoleh a₀ = 2. Jika relasi rekurensi tersebut dideretkan terus akan diperoleh :

 a₃ = 7 a₂ = 7 (7² a₀) = 7³ a₀ ..........dan seterusnya

sehingga penyelesaian umum dari relasi rekurensi di atas adalah:

 an= 7n (2) , n > 0